Задача про циферки

Найдите последнюю цифру числа 2^2129.

Ответ. 2

Решение. Мы не можем решить эту задачу, как говорится, в лоб(хотя кто-то может попробовать (Шутка!))Значит попробуем найти закономерность в изменении последней цифры:

2^1 = 2;

2^2 = 4;

2^3 = 8;

2^4 = 16;

2^5 = 32;

2^6 = 64;

2^7 = 128;

2^8 = 256;

и т.д

Так как последняя цифра произведения двух натуральных чисел зависит лишь от последней цифры каждого из сомножителей, то последние цифры степеней двоек будут повторяться с периодом 4.(то есть каждое четвертое число оканчивается на одинаковую цифру) То есть необходимо поделить с остатком число 2129 на 4, и получим, что 2129 = 2128 + 1 = 532 · 4 + 1 (из наших утверждений следует, что остаток определяет степень «близнец», т.е. степень возведя двойку в которую мы получим такое же последнее число). Поэтому последняя цифра числа 2^2129 совпадает с последней цифрой числа 2^1, то есть равна 2.

Источник: Дистанционный этап олимпиады “Физтех-2011” 9 класс.

Автор: Артем

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *